Scomporre in fattori primi
Scomporre in fattori primi un numero significa scriverlo come prodotto di altri numeri naturali primi
Procedimento per scomporre in fattori primi:
Esempio scomposizione del numero 210
Tracciare una linea verticale e scrivere a sinistra il numero da scomporre:
Ricordando i criteri di divisibilità cerca il divisore più piccolo in questo caso 2
Consiglio: incomincia dal più piccolo numero primo 2 e chiederti è divisore del numero dato se si bene altrimenti continuare con il successivo 3 e chiederti è divisore del numero dato se si bene altrimenti continuare con il successivo e così via…
Scrivi a destra della linea il divisore trovato
Dividi il numero dato in questo caso 210 per il divisore scelto 2 e scrivi a sinistra della linea il risultato
Cerca il divisore più piccolo del numero 105 (utilizzando lo stesso procedimento di prima) e scrivilo a destra della linea
Dividi 105 per 3 e scrivi il risultato 35 a sinistra della linea
Cerca il divisore più piccolo del numero 35 (utilizzando lo stesso procedimento di prima) e scrivilo a destra della linea
Dividi 35 per 5 e scrivi il risultato 7 a sinistra della linea
7 ottenuto dalla precedente divisione è il nuovo numero da considerare
7 è un numero primo quindi avendo come divisori 1 e se stesso puoi dividerlo per se stesso ottenendo come risultato 1
A questo punto il procedimento della scomposizione è terminato ottenendo:
La scomposizione del numero 210 si scrive in questo modo:
Teorema fondamentale dell’aritmetica: ogni numero naturale n > 1 si può scrivere in modo unico come prodotto di numeri primi
Il teorema assicura che, se si scompone un numero in fattori primi, questa scomposizione è unica, a meno dell'ordine con cui si scrivono i fattori.
Es:
12 può essere visto come 3 ⋅ 4, 4 non è un numero primo ma è composto 2 ⋅ 2 quindi 12 = 3 ⋅ 2 ⋅ 2
Oppure
12 può essere visto come 2 ⋅ 6, 6 non è un numero primo ma è composto 2 ⋅ 3, quindi 12 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3
Ma entrambe le scritture possono essere scritte così 12 = 22⋅ 3 è l'unico modo in cui il 12 si può scomporre in fattori primi, a meno che non si scambiano di posto i fattori 12 = 3 ⋅ 22 (il modo più utilizzato è il primo ossia quello con i numeri in ordine crescente)