Potenza di una frazione
La potenza di una frazione è una potenza che ha per base una frazione 
e per esponente un numero n
La potenza di una frazione è il prodotto di tante frazioni identiche alla frazione data quanto indicato dal valore dell'esponente:
Pertanto il risultato si trova elevando il numeratore e il denominatore della frazione all'esponente della potenza.
Es:
Con i numeri relativi:
Base negativa esponente dispari risultato negativo, base negativa esponente pari risultato positivo
Attenzione senza la parentesi che raccoglie come base tutta la frazione la potenza può essere solo al numeratore o solo al denominatore come nelle seguenti scritture:
Potenza con esponente uguale a 0
La potenza con base una frazione e esponente zero è uguale a 1
Dividendo due potenze con la stessa base e con lo stesso esponente, si ha:
an : an = 1 infatti dividendo due numeri uguali si ottiene 1.
Applicando le proprietà delle potenze an : an = a0
Quindi si può concludere che a0 = 1
Lo stesso avviene quando la base della potenza è una frazione o numero razionale a diverso da zero
Potenza con esponente un numero intero negativo
La definizione di potenza si può estendere anche nel caso in cui l'esponente sia uguale a un numero intero negativo:
La potenza con esponente negativo può essere scritta così a0 : an
ossia come il quoziente di due potenze con la stessa base a0 : an = a0-n quindi a-n
Essendo a0 = 1 allora a0 : an = 1 : an
Si può definire che per ogni numero razionale diverso da zero: 
La potenza di un numero diverso da zero elevato a un esponente intero negativo è uguale a una potenza che ha per base il reciproco della base e per esponente l'opposto dell'esponente.
Non è definita invece la potenza con esponente negativo di 0 il numero 0 infatti non ha il reciproco.
Pertanto 0−n è una scrittura priva di significato.
Le operazioni con i numeri razionali
Con i numeri razionali è sempre possibile eseguire le addizioni, le moltiplicazioni, le sottrazioni e le divisioni. Un numero razionale può essere scritto sotto forma di frazione, se si addizionano, si moltiplicano, si sottraggono, si dividono due frazioni il risultato è sempre una frazione.
Addizione
Quando due frazioni hanno la stessa unità frazionaria l’addizione di esegue sommando i numeratori delle frazioni e come denominatore rimane l'unità frazionaria comune.
Es:
Mezz'ora più mezz'ora è un'ora, in frazioni: 
Un quarto d'ora più tre quarti d'ora è un'ora:
In entrambi i casi sono state addizionate frazioni con lo stesso denominatore il risultato (somma) è una frazione che per numeratore la somma dei numeratori delle frazioni iniziali e per denominatore lo stesso denominatore.
La somma di due o più frazioni con lo stesso denominatore è una frazione che ha per numeratore la somma dei numeratori e per denominatore lo stesso denominatore.
Quando le frazioni hanno diverso denominatore, le unità frazionarie sono diverse dobbiamo considerare frazioni equivalenti a quelle date che abbiano la stessa unità frazionaria e poi eseguire l'addizione come indicato nel punto precedente e cioè sommando i numeratori e lasciando lo stesso denominatore comune.
Es:
Le due frazioni iniziali sono state trasformate in frazioni equivalenti
in modo che abbiano lo stesso denominatore calcolato con m.c.m. dei denominatori 5 e 4
A questo punto possono essere addizionati:
In generale data l'addizione di due frazioni
la somma si può scrivere così:
Quando si sommano due frazioni si può scegliere un qualsiasi denominatore comune, tuttavia per semplificare i calcoli conviene scegliere il più piccolo possibile, cioè il minimo comune multiplo.
Procedura per sommare due o più frazioni:
1. ridurre le frazioni ai minimi termini;
2. calcolare il minimo comune multiplo dei denominatori;
3. mettere il minimo comune multiplo come denominatore della frazione somma;
4. per ogni frazione dividere il m.c.m. per il suo denominatore e moltiplicare il risultato per il numeratore della frazione mantenendo il segno;
5. calcolare la somma algebrica di tutti i numeri trovati;
7. mettere la somma ottenuta come numeratore della frazione somma;
8. ridurre ai minimi termini la frazione ottenuta.
Es:
Passo 1: riduco ai minimi termini le frazioni
Passo 2: calcolo mcm tra i denominatori
m.c.m.(3,6 ,5,1) = 30
Passo 3: nuovo denominatore
la frazione somma avrà come denominatore il m.c.m. 
Passo 4: calcolo frazioni equivalenti
per ogni frazione divido il m.c.m. per il suo denominatore e moltiplico il risultato per il numeratore:
Passo 5: somma algebrica dei numeri ottenuti al numeratore
calcolo +13
Passo 6: scrivo la somma ottenuta al numeratore della frazione somma 
Passo 7: vedo se posso ridurre la frazione, in questo caso no, il risultato è
Sottrazione di frazioni
La sottrazione si svolge come l’addizione invece del segno + si utilizza il segno –
La sottrazione di frazioni si può sempre trasformare in una addizione tra la prima frazione e l'opposto della seconda frazione. Come per i numeri relativi, quando si parlerà di somma di frazioni si intenderà sempre somma algebrica di frazioni.
Moltiplicazione
Il prodotto di due frazioni è una frazione che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori.
Es:
Semplificazione incrociata o in croce
Quando è possibile come in questo caso:
prima di moltiplicare i numeratori (3 ∙ 4) e i denominatori (2 ∙ 5)
conviene eseguire una semplificazione incrociata chiamata così perché
è possibile semplificare il numeratore con il denominatore dell’altra frazione quando hanno un divisore il comune
Il denominatore 2 della prima frazione ha un divisore in comune (2) con 4 numeratore dell’altra frazione e possono essere divisi entrambi con 2 ottenendo 1 al denominatore della prima frazione e 2 al numeratore della seconda frazione.
La moltiplicazione con frazioni può essere resa più semplice operando una semplificazione incrociata tra numeratori e denominatori di un'altra frazione
Es:
Invece di eseguire le moltiplicazioni:
28 ∙ 9 (moltiplicazione numeratori) e 15 ∙ 16 (moltiplicazione denominatori)
Conviene prima semplificare in croce:
28 e 16 possono essere divisi entrambi dal 2 ottenendo rispettivamente 14 e 8 a loro volta ancora divisi dal 2 ottenendo 7 e 4 (28 e 16 possono essere divisi dal 4 (4 = 2 ∙ 2) e ottenere in un solo passaggio 7 e 4
9 e 15 possono essere divisi entrambi dal 3 ottenendo rispettivamente 3 e 5
A questo si moltiplicano numeratori (7 ∙ 3 = 21) e denominatori (5 ∙ 4 = 20)
La moltiplicazione diventa:
Inverso o reciproco di una frazione
L’inverso o il reciproco di una frazione è quella frazione che moltiplicata per la prima da come risultato la prima
Per scrivere la frazione inversa il numeratore diventa denominatore e il denominatore numeratore
Divisione
Il quoziente di due frazioni è la frazione che si ottiene moltiplicando la prima frazione per l’inverso della seconda frazione
Es:
La divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione.
Cosa significa operazione inversa?
Operazione inversa quella operazione che applicata al risultato finale riporta allo stato iniziale
Dato che nell'insieme dei numeri razionali esiste sempre l'inverso di una frazione rispetto alla moltiplicazione, esclusa la frazione zero, si può sempre eseguire la divisione di due qualsiasi frazioni.
Il quoziente di due frazioni è la frazione che si ottiene moltiplicando la prima frazione per l'inverso della seconda frazione.
Es:
I numeri razionali e la retta
Anche i numeri razionali si possono rappresentare su una retta orientata.
Disegnare una retta e occorre scegliere un punto O e associare ad esso il numero zero, fissare un segmento unitario e un verso di percorrenza.
il punto sulla retta corrispondente al numero razionale viene determinato dividendo il segmento unitario in tante parti uguali quante sono quelle indicate dal denominatore (b) della frazione,
A partire dal punto O procedendo verso destra, si contano a frazioni unitarie, del numero indicato dal numeratore (a)
Dividere l’unità, ossia la parte di retta tra 0 e 1, in 5 parti uguali perché il denominatore è 5 poi contare da zero 3 unità frazionarie.
Le frazioni improprie la singola unità u non è sufficiente e quindi possono essere viste come la somma di un numero intero e di una frazione propria
Se il numero razionale è negativo, ci comportiamo come prima con l'avvertenza di muoverci verso sinistra dallo zero.
Confronto tra numeri razionali
Nel caso in cui le frazioni hanno lo stesso denominare è maggiore quella con numeratore maggiore:
Nel caso il cui le frazioni hanno lo stesso denominare è minore quella con numeratore minore:
Utilizzando la rappresentazione dei numeri razionali sulla retta
Il numero razionale rappresentato dalla frazione
è minore del numero razionale rappresentato dalla frazione 
se nella retta orientata il punto che corrisponde alla frazione
precede il punto che corrisponde alla frazione
Il numero razionale rappresentato dalla frazione
è maggiore del numero razionale rappresentato dalla frazione
se nella retta orientata il punto che corrisponde alla frazione
segue il punto che corrisponde alla frazione
Il numero razionale
è equivalente a se nella retta orientata i punti che corrispondono alle due frazioni coincidono.
Es:
Ma se consideriamo per esempio le frazioni 
Quale frazione precede e quale segue?
Il confronto non è immediato perché con la prima frazione si conta per unità frazionarie 
e con la seconda per unità frazionarie 
In generale, senza ricorrere alla rappresentazione sulla retta, come si possono confrontare i numeri razionali?
Conviene sostituire le frazioni date con altre equivalenti che hanno unità frazionarie dello stesso tipo:
cioè occorre ridurre le frazioni allo stesso denominatore.
Procedura per confrontare due frazioni
1. si calcola il minimo comune multiplo dei denominatori delle frazioni;
2. si trasforma ciascuna frazione in frazione equivalenti con lo stesso denominatore come segue:
2.1 il nuovo denominatore è il m.c.m. trovato
2.2 il nuovo numeratore si ottiene dividendo il m.c.m. per il denominatore della frazione data e moltiplicando il quoziente ottenuto per il numeratore della frazione data;
3. si confrontano i nuovi numeratori: la frazione più grande è quella che ha il numeratore più grande.
Es:
1. calcolo m.c.m. tra i denominatori
m.c.m. (5;3) = 15
Il minimo comun multiplo si ottiene moltiplicando il denominatore della prima frazione con il denominatore della seconda frazione essendo 3 e 5 numeri primi
2. calcolo delle frazioni equivalenti con lo stesso denominatore che corrisponde al m.c.m.
può essere trasformata nella frazione equivalente così:
applicando la regola:
il nuovo denominatore è m.c.m. trovato 15
il numeratore si ottiene dividendo il m.c.m. per il denominatore della frazione e moltiplicando il quoziente ottenuto (15: 5 = 3) per il numeratore della frazione data
Con lo stesso procedimento
può essere trasformata nella frazione equivalente così:
Dopo aver ottenuto due frazioni con lo stesso denominatore equivalenti a quelle date,
il confronto tra frazione con lo stesso denominatore è più semplice:
La stessa diseguaglianza vale anche per frazioni di partenza quindi: 
Un altro modo per confrontare due frazioni consiste nel 'moltiplicare in croce' numeratori e denominatori delle frazioni, come nel seguente esempio.
Es:
Il confronto può essere svolto moltiplicando il numeratore della prima frazione con il denominatore della seconda frazione (3 ˑ 3) e il denominatore della prima frazione per il numeratore della seconda (5 ˑ 2), così:
3⋅3 < 2⋅5 perché 9 < 10
ottenendo
Altro esempio:
Numeri periodici particolari
Numeri periodici particolari sono quelli che hanno come periodo il numero 9
Quando applichiamo la regola per il calcolo della frazione generatrice al numero periodico si ottiene un risultato inatteso.
Es:
Quindi 2, 9 coincide con il numero intero 3.
Per lo stesso motivo 2,19 = 2,2 e 26,329 =26,33
Questo risultato si può dimostrare anche in modo grafico, rappresentando, ad esempio, il numero 0,9 e il numero 1 sulla retta reale.
Se i due numeri fossero veramente diversi sarebbero rappresentati da due punti distinti come in figura.
Dato che la retta reale non può avere “buchi”, tra un suo punto e un altro ci deve essere almeno un altro numero compreso tra i due.
Qualunque numero decimale minore di 1 è sicuramente superato dal numero 0,9
ad esempio 0,9999999998 è sicuramente più piccolo di 0,9
quindi non esiste nessun numero tra 0,9 e 1 di conseguenza i due numeri coincidono.