Le operazioni con i numeri relativi
Con i numeri relativi è sempre possibile eseguire le addizioni, le moltiplicazioni e le sottrazioni.
I simboli delle operazioni di addizione + e sottrazione – sono gli stessi segni utilizzati per rappresentare i numeri relativi.
Quindi per poter scrivere in modo chiaro le due operazioni è necessario utilizzare le parentesi per distinguere il segno del numero da quello dell’operazione
Es
(+3) + (+7) =
+ segno dei numeri
+ segno dell’operazione
(+3) – (+7) =
+ segno dei numeri
– segno dell’operazione
Somma algebrica
Queste due operazioni possono essere raggruppate nell’operazione che si chiama somma algebrica applicando queste due semplici regole che ci consentono di lavorare meglio eliminando le parentesi:
segno + davanti la parentesi non cambia segno al numero in parentesi
quindi (+3) + (+7) = diventa +3 +7 =
segno – davanti la parentesi cambia segno al numero in parentesi
quindi (+3) – (+7) = diventa +3 –7 =
Dopo aver eliminato le parentesi applicare le seguenti due regole:
La somma di due numeri relativi concordi (stesso segno) è il numero che per ha valore assoluto la somma dei singoli valori assoluti e come segno lo stesso segno degli addendi.
Es:
+3 +7 = + 10
10 somma di 3 e 7 + stesso segno degli addendi
–3 –7 = – 10
10 somma di 3 e 7 – stesso segno degli addendi
La somma di due numeri relativi discordi è il numero che ha per valore assoluto la differenza dei valori assoluti e come segno il segno del numero che ha valore assoluto maggiore.
Es:
+3 –7 = –4
4 differenza dei valori assoluti – il segno del valore 7 maggiore rispetto 3
–3 +7 = +4
4 differenza dei valori assoluti + il segno del valore 7 maggiore rispetto 3
Le stesse regole valgono anche quando in parentesi ci sono più numeri
Es
(+12) + (+2 – 9 + 5 – 7) =
Primo passaggio eliminare le parentesi, ricordando che il segno + non cambia segno ai numeri in parentesi:
+ 12 + 2 – 9 + 5 – 7 =
Distinguere numeri positivi dai negativi, sottolineandoli o evidenziandoli:
+12 +2 – 9 + 5 – 7 =
Sommare (mentalmente)
i numeri positivi +12 +2 +5 = +19
i numeri negativi – 9 – 7 = – 16
Ottenendo:
+ 19 – 16 = + 3
(+12) – (+2 – 9 + 5 – 7) =
Primo passaggio eliminare le parentesi, ricordando che il segno – cambia segno ai numeri in parentesi:
+12 – 2 + 9 – 5 + 7 =
Distinguere numeri positivi dai negativi, sottolineandoli o evidenziandoli:
+12 – 2 + 9 – 5 + 7 =
Sommare (mentalmente)
i numeri positivi +12 +9 +7 = +28
i numeri negativi –2 –5 = –7
Ottenendo:
+28 –7 = +21
Moltiplicazione
Il prodotto di due numeri relativi è il nuovo numero relativo che si ottiene in questo modo come valore assoluto il prodotto dei valori assoluti e come segno, il segno + se i fattori sono concordi e il segno – se i fattori sono discordi.
Dati due relativi da moltiplicare si chiamano fattori i due numeri e prodotto il risultato dell'operazione.
Es:
(+3) ⋅ (−2) = −6
il numero 6 si ottiene da 3 ⋅ 2 il segno è negativo perché i fattori sono discordi.
(−2) ⋅ (−3) = +6
il numero 6 si ottiene da 3 ⋅ 2 il segno è positivo perché i fattori sono concordi.
(+5) ⋅ (+3) = +15
il numero 15 si ottiene da 5 ⋅ 3 il segno è positivo perché i fattori sono concordi.
(−1) ⋅ (+2) =− 2
il numero 2 si ottiene da 1 ⋅ 2 il segno è negativo perché i fattori sono discordi.
Per determinare il segno di un prodotto si può ricorrere alla seguente regola dei segni: nella prima riga e nella prima colonna sono collocati i segni dei fattori, all'incrocio tra la riga e la colonna c'è il segno del risultato.
Curiosità:
Perché meno per meno fa più, una possibile spiegazione
0 = 0⋅(−2 ) = (−3+3)⋅(−2) = (−3)⋅(−2)+(+3)⋅(−2 )=...−6
Quale valore dobbiamo assegnare a (−3) ⋅ (−2) affinché il numero ottenuto sommato a -6 dia 0? Evidentemente il numero +6.
Spiegato nei dettagli:
Si pone 0 = 0 moltiplicato per un numero negativo ossia 0 ⋅ (−2)
0 ⋅ (−2) può essere scritto così (−3 + 3) ⋅ (−2) trasformato 0 in −3 + 3 ottenendo (−3+3)⋅(−2) =
Applicando la proprietà distributiva la scrittura (−3+3) ⋅ (−2) si può scrivere così (−3) ⋅ (−2) +(+3) ⋅ (−2)
Per trovare il risultato che deve essere 0 bisogna cercare il valore da assegnare alla moltiplicazione
(−3) ⋅ (−2) perché il valore della moltiplicazione (+3) ⋅ (−2) è −6
quindi per ottenere 0 il risultato della moltiplicazione (−3) ⋅ (−2) deve essere +6
Moltiplicazioni con più fattori
Nel caso si debbano eseguire moltiplicazioni con più fattori:
il segno del prodotto è negativo se il segno meno è presente in un numero dispari di fattori;
il segno del prodotto è positivo se il segno negativo è presente un numero pari.
Es
(+3) ⋅ (+2) ⋅ (−2) = −12
il risultato è negativo perché vi è un solo segno - tra i fattori.
(−2) ⋅ (−3) ⋅ (+5) ⋅ (−2) ⋅ (−1) = +60
il risultato è positivo perché ci sono quattro segni –.
(−1) ⋅ (−2) ⋅ (−3) ⋅ (−2) ⋅ (+2) ⋅ (−3) = −72
il risultato è negativo poiché ci sono cinque –
Divisione
La regola della divisione è del tutto analoga a quella della moltiplicazione.
Per dividere due numeri relativi si dividono i valori assoluti e si attribuisce al risultato il segno + se i numeri da dividere sono concordi, il segno – se i numeri sono discordi.
Osservazione:
Addizione, sottrazione e moltiplicazione sono operazioni sempre possibili con i numeri interi relativi, ossia il risultato di queste operazioni è sempre un numero intero relativo
La divisione tra numeri relativi è possibile solo quando è possibile la divisione tra i loro valori assoluti, ossia se il divisore è diverso da zero ed è un sottomultiplo del dividendo, ossia il risultato della divisione non sempre è un numero intero relativo.
Es:
(+8) : (+2) = +4 il risultato è 4
perché 8 : 2 = 4, il segno è + perché sono concordi.
(+9) : (−3) = −3
il risultato è 3 perché 9:3=3, il segno è – perché sono discordi.
(−12) : (−4) = +3
il risultato è 3 poiché 12:4=3, il segno è + perché sono concordi.