Espressioni numeriche
Quando abbiamo più operazioni da eseguire dobbiamo chiarire l'ordine con cui si devono eseguire le operazioni.
Partiamo da un esempio per capire meglio l'espressione 2 + 3 ⋅ 4
può valere 14 se si esegue per prima la moltiplicazione, infatti 2 + 3 ⋅ 4 = 2 + 12 = 14
può valere 20 se si segue per prima l'addizione, infatti 2 + 3 ⋅ 4 = 5 ⋅ 4 = 20
Per eliminare queste ambiguità sono state fissate alcune regole.
1. Se un’espressione contiene solo addizioni, le operazioni si possono eseguire in qualsiasi ordine, e ciò grazie alla proprietà associativa dell'addizione.
3 + 2 + 5 = 5 + 5 = 10
in questo caso si sono eseguite le operazioni nell'ordine in cui compaiono;
3 + 2 + 5 = 3 + 7 = 10
in questo caso è stata eseguita per prima l'ultima addizione.
In entrambi i casi il risultato è lo stesso.
2. Se un’espressione contiene solo moltiplicazioni, le operazioni si possono eseguire in qualsiasi ordine, grazie alla proprietà associativa della moltiplicazione.
2 ⋅ 3 ⋅ 4 = 6 ⋅ 4 = 24
in questo caso si è seguito l'ordine in cui compaiono;
2 ⋅ 3 ⋅ 4 = 2 ⋅12 = 24
in questo caso di è seguito l'ordine opposto.
In entrambi i casi il risultato è lo stesso.
3. Se un’espressione, senza parentesi, contiene più sottrazioni, si deve procedere eseguendole nell’ordine in cui sono scritte, la sottrazione infatti non gode né della proprietà associativa né di quella commutativa.
10 − 6 − 3 = 4 − 3 = 1
eseguendo le sottrazioni nell'ordine con cui compaiono il risultato è 1
10 − 6 − 3 = 10 − 3 = 7
eseguendo le sottrazioni nell'ordine inverso il risultato è 7
I risultati non sono uguale perchè il secondo risultato è errato.
4. Se un’espressione senza parentesi contiene solo addizioni e sottrazioni, le operazioni si devono eseguire nell’ordine con cui sono scritte.
12 + 6 − 5 − 1= 18 − 5 − 1 = 13 − 1 = 12
5. Se un’espressione senza parentesi contiene solo divisioni, le operazioni si devono eseguire nell’ordine con cui sono scritte.
360 : 12 : 3 = 30 : 3 = 10
6. Se un’espressione senza parentesi contiene addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni e potenze, si eseguono prima le potenze, poi moltiplicazioni e divisioni, rispettando l’ordine con cui sono scritte, e poi addizioni e sottrazioni, rispettando l'ordine.
18 : 2 : 9 + 52 − 2 ⋅ 32 : 3 − 1 =
= 18 : 2 : 9 + 25 − 2 ⋅ 9 : 3 − 1 =
= 9 : 9 + 25 − 18 : 3 − 1 =
= 1 + 25 − 6 − 1 =
= 26 − 6 −1 =
= 20 − 1 = 19
7. Se l’espressione contiene una coppia di parentesi si devono eseguire prima le operazioni racchiuse nelle parentesi, rispettando le regole precedenti; si eliminano poi le parentesi e si ottiene un’espressione senza parentesi.
5 ⋅ (4 + 32) − 1 =
= 5⋅(4 + 9) − 1 =
= 5 ⋅ 13 −1 =
= 65 − 1 = 64
8. Se l’espressione contiene più ordini di parentesi, si eseguono per prima le operazioni racchiuse nelle parentesi tonde, rispettando le regole precedenti,
Dopo avere eliminato le parentesi tonde si procede con le operazioni racchiuse nelle parentesi quadre.
Dopo aver eliminato le parentesi quadre, si eseguono le operazioni nelle parentesi graffe.
Si ottiene così un’espressione senza parentesi.
L’uso di parentesi di diverso tipo rende visivamente più semplice l’ordine da seguire nelle operazioni ma in un’espressione tutte le parentesi possono essere tonde.
Ciò accade, per esempio, quando si usano gli strumenti di calcolo elettronico come il computer e la calcolatrice.