Proprietà delle operazioni
Proprietà commutativa: vale per l’addizione e per la moltiplicazione
Cambiando l'ordine degli addendi il risultato non cambia.
a + b = b + a
3 + 5 = 5 + 3 = 8
Cambiando l'ordine dei fattori il risultato non cambia.
a ⋅ b = b ⋅ a
3 ⋅ 5 = 5 ⋅ 3 = 15
La proprietà commutativa non vale per le seguenti operazioni: sottrazione, divisione e potenza.
a − b ≠ b − a;
8 −3 = 5 ≠ 3 −8
a : b ≠ b : a;
8 − 4 = 2 ≠ 4 − 8
Proprietà associativa
Un'operazione gode della proprietà associativa se, presi arbitrariamente tre numeri legati da due operazioni, è indifferente da quale operazione si inizia, in quanto il risultato che si ottiene è sempre lo stesso.
La proprietà associativa vale per l'addizione
(a + b) + c = a + (b + c)
(3 + 5) + 2 = 3 + (5 + 2) = 10
La proprietà associativa vale per la moltiplicazione
(a ⋅ b) ⋅ c = a⋅ (b ⋅ c)
(3⋅ 5) ⋅ 2 = 3 ⋅ (5 ⋅ 2) = 30
La proprietà associativa non vale per le operazioni sottrazione, divisione.
(a − b) − c ≠ a − (b − c)
Esempio
(10 − 5) − 2 ≠ 10 − (5 − 2)
5 – 2 ≠ 10 – 3
3 ≠ 7
(a : b) : c ≠ a : (b : c )
Esempio
(16 : 4) : 2 ≠ 16 : (4 : 2)
4 : 2 ≠ 16 : 2
2 ≠ 8
Proprietà distributiva
La proprietà distributiva coinvolge due operazioni differenti.
Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione:
Moltiplicare il risultato dell'addizione per il fattore fuori parentesi dà lo stesso risultato che moltiplicare ogni addendo per il fattore e addizionare i prodotti ottenuti.
Questa proprietà vale sia quando la somma è a destra sia quando è a sinistra.
a ⋅ (b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c (a + b) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅c
Es:
3 ⋅ (2 + 4) = 3 ⋅ 6 = 18 (2 + 4) ⋅ 3 = 6 ⋅ 3 = 18
3 ⋅ (2 + 4) = 3 ⋅2 + 3 ⋅ 4 = 6 + 12 = 18 (2 + 4) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 + 4 ⋅3 = 6 + 12 = 18
Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla sottrazione
Moltiplicare il risultato della sottrazione per il fattore fuori parentesi dà lo stesso risultato che moltiplicare ogni termine della sottrazione per il fattore e addizionare i prodotti ottenuti
a ⋅ (b − c) = a ⋅ b − a ⋅c (a − b) ⋅ c = a ⋅ c − b ⋅c
Esempi
6 ⋅ (10 − 4) = 6 ⋅ 6 = 36 (10 − 4) ⋅ 6 = 6 ⋅ 6 = 36
6 ⋅ (10 − 4) = 6 ⋅ 10 − 6 ⋅ 4 = 60 – 24 = 36 (10 − 4) ⋅ 6 = 10 ⋅ 6 − 4 ⋅ 6 = 36
Proprietà distributiva della divisione rispetto all'addizione solo se le somme sono a sinistra:
(a + b + c) : d = a : d + b : d + c : d
Es:
(20 + 10 + 5): 5 = 35: 5 = 7
(20 + 10 + 5) : 5 = 20 : 5 + 10 : 5 + 5 : 5 = 7
quindi vale la proprietà distributiva della divisione rispetto all'addizione se le somme sono a sinistra.
Verifichiamo con un esempio che non vale la proprietà distributiva se le somme si trovano a destra.
Esempio
120 : (3 + 5) =
Eseguendo prima l'operazione tra parentesi si ottiene correttamente
120 : 8 = 15 .
Se si prova ad applicare la proprietà distributiva si ottiene
120 : 3 + 120 : 5 = 40 + 24 = 64
Il risultato corretto è il primo.
Proprietà distributiva della divisione rispetto la sottrazione solo se la sottrazione è a sinistra:
(a − b) : c = a : c − b : c
Esempio
(20 − 10) : 5 = 10 : 5 = 2 20 : 5 − 10 : 5 = 4 – 2 = 2
In questo caso la sottrazione è a sinistra
120 : (5 − 3) = 120 : 2 = 60 ≠ 120 : 5−120 :3 = 24−40 = ...non si può fare
In questo caso la sottrazione è a destra