Operazioni con i numeri naturali
Un’operazione è una procedura che permette di ricavare un terzo numero a partire da due iniziali. Ogni operazione ha la propria procedura.
Addizione di numeri naturali
Dati due numeri naturali n e m, addendi, l'operazione di addizione permette di ottenere un terzo numero s, somma, che si ottiene contando da n tante unità quante sono quelle indicate da m.
Si scrive: n + m = s
Es: 3 + 4 = 7
Moltiplicazione di numeri naturali
Dati due numeri naturali n e m, fattori, l'operazione di moltiplicazione associa un terzo numero p, prodotto, addizionando il primo fattore quante sono le unità del secondo.
Per eseguire la moltiplicazione 2 ⋅ 3 dobbiamo addizionare 2+2+2, otteniamo 6.
L'operazione di moltiplicazione si indica con diversi simboli:
p = n × m p = n ⋅ m p = n ∗ m
Le operazioni di addizione e moltiplicazione si dicono operazioni interne all'insieme dei numeri naturali, esse infatti danno sempre come risultato un numero naturale.
Sottrazione di numeri naturali
Dati due numeri naturali n e m, diminuendo e sottraendo, l'operazione di sottrazione permette di ottenere un terzo numero d, differenza, che si ottiene contando all’indietro da n tante unità quante sono quelle indicate da m.
Si scrive: n - m = d
Es: 12 - 8 = 4
Divisione di numeri naturali
Dati due numeri naturali n e m, dividendo e divisore, l'operazione di divisione restituisce un terzo numero q, quoziente, che moltiplicato per m dà come risultato n.
Si scrive: n : m = q
Es: 8 : 2 = 4
Per calcolare 8 : 2 bisogna trovare un numero che moltiplicato per 2 restituisce 8
Le operazioni di sottrazione e divisione si dicono operazioni non interne all'insieme dei numeri naturali, esse infatti danno non sempre come risultato un numero naturale.
Non è sempre possibile trovare come risultato delle sottrazioni un numero naturale.
Ad esempio:
la differenza tra 5 e 7, infatti partendo dal 5 non è possibile andare indietro di 7 posizioni, poiché non è possibile andare oltre il numero 0 che è il più piccolo dei numeri naturali.
Si può osservare allora che in ℕ la sottrazione a - b è possibile solo se b ≤ a
Non è sempre possibile trovare come risultato delle sottrazioni un numero naturale.
In una divisione n : m = q
se il quoziente esiste, il numero m si dice divisore di n, oppure n è divisibile per m
Esempi
12 : 3 = 4 perché 3 x 4 = 12.
Quindi: 12 è divisibile per 3 3 è un divisore di 12 12 è un multiplo di 3
20 è divisibile per 4 perché 20 : 4 = 5
7 è divisore di 35 perché 35 : 7 = 5
6 è multiplo di 3 perché 6 = 2 x 3
5 non è multiplo di 3, non esiste alcun numero naturale che moltiplicato per 3 dà 5
Dagli esempi si può osservare che in ℕ la divisione tra due numeri n e m è possibile solo se n è multiplo di m.
Non sempre il risultato, q, di una divisione è un numero naturale, la divisione tra due numeri naturali è sempre possibile ma spesso come risultato si ottiene un numero naturale e un resto.
Es:
25 : 7 si ottiene quoziente 3
(infatti 7 x 3 = 21 mentre 7 x 4 = 28 supera il dividendo) e resto 4 (infatti 25 - 21 = 4)
Pertanto si può scrivere 25 = 7 x 3 + 4
Il resto si ottiene dalla differenza tra il dividendo e il prodotto tra il divisore e il quoziente
Alcune osservazioni sulla divisione:
Divisore deve essere diverso da zero, se il divisore è 0 non c'è nessun numero che moltiplicato per 0 ci possa dare un dividendo diverso da zero.
Es: nella divisione 5 : 0 dovremmo cercare un numero che moltiplicato per 0 dà 5 ma ciò non è possibile in quanto qualsiasi numero moltiplicato per 0 dà 0.
Nel linguaggio matematico diciamo che una divisione del tipo n : 0, con n ≠ 0, è impossibile.
Quoziente qualsiasi numero, nella divisione 0 : 0 un qualsiasi numero è adatto come quoziente, infatti qualsiasi numero moltiplicato per 0 dà 0 come prodotto.
Nel linguaggio matematico diciamo che la divisione 0 : 0 è indeterminata.