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Terne pitagoriche 

Il teorema di Pitagora.
Il teorema di Pitagora afferma che:
In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.

 

In Algebra, il teorema di Pitagora si può esprimere così: Se a e b sono le lunghezze dei cateti di un triangolo rettangolo e c è la lunghezza dell'ipotenusa, si ha che: a2 + b2 = c2

 

Definizione di terna pitagorica.
Se tre numeri interi a, b e c verificano la relazione a² + b² = c², si dice che formano una terna pitagorica.
Ad esempio (3, 4, 5) e (5, 12, 13) sono due notissime terne pitagoriche, mentre non lo è (1, 1, radq(2)) perché l'ultimo numero non è intero.
Anche (6, 8, 10) è una terna pitagorica, ottenuta raddoppiando i termini della (3, 4, 5).

 

Terne primitive e terne derivate.
Le terne come la (3, 4, 5) sono dette terne primitive e quelle come la (6, 8, 10) sono dette derivate.
Infatti, se (a, b, c) è una terna pitagorica, lo è anche (ka, kb, kc), con k numero intero positivo.

Come si distinguono le terne primitive da quelle derivate?
Semplice: se a e b sono primi fra loro allora la terna è primitiva, altrimenti è derivata.

 

Alcune osservazioni, in ordine sparso
In tutte le terne pitagoriche:
- uno dei tre "lati" a, b, c è divisibile per 3 e un altro per 5
- il prodotto dei due "cateti" a*b è divisibile per 12
- il prodotto dei tre "lati" a*b*c è divisibile per 60

Nelle terne pitagoriche primitive:
- uno dei due "cateti" a oppure b è pari e l'altro dispari, mentre l'"ipotenusa" c è sempre dispari
- a, b sono primi fra loro

 

Esiste una formula che permette di trovare tutte le terne pitagoriche primitive?
Utilizzando le seguenti formule si possono ottenere delle terne pitagoriche:

a = m² - n²

b = 2mn

c = m² + n²

dove m, n sono numeri interi tali che m>n>0.

Le terne generate sono quindi del tipo:

m² – n² , 2mn , m² + n²

Dimostriamo che i tre valori a, b, c così calcolati formano una terna pitagorica.
Dobbiamo verificare che:
a² + b² = c²

Eleviamo al quadrato:

a = m² - n² ---> a² = (m² - n²)² = m⁴ + n⁴ - 2m² n²

b = 2mn ---> b² = (2mn)² = 4 m² n²

c = m² + n² ---> c² = (m² + n²)²

Sostituendo, abbiamo:

a² + b² = m⁴ + n⁴ - 2m² n² + 4 m² n² = m⁴ + n⁴ + 2m² n² = (m² + n²)² = c²