Le operazioni con i numeri razionali
Con i numeri razionali è sempre possibile eseguire le addizioni, le moltiplicazioni, le sottrazioni e le divisioni. Un numero razionale può essere scritto sotto forma di frazione, se si addizionano, si moltiplicano, si sottraggono, si dividono due frazioni il risultato è sempre una frazione.
Addizione
Quando due frazioni hanno la stessa unità frazionaria l’addizione di esegue sommando i numeratori delle frazioni e come denominatore rimane l'unità frazionaria comune.
Es:
Mezz'ora più mezz'ora è un'ora, in frazioni: 
Un quarto d'ora più tre quarti d'ora è un'ora:
In entrambi i casi sono state addizionate frazioni con lo stesso denominatore il risultato (somma) è una frazione che per numeratore la somma dei numeratori delle frazioni iniziali e per denominatore lo stesso denominatore.
La somma di due o più frazioni con lo stesso denominatore è una frazione che ha per numeratore la somma dei numeratori e per denominatore lo stesso denominatore.
Quando le frazioni hanno diverso denominatore, le unità frazionarie sono diverse dobbiamo considerare frazioni equivalenti a quelle date che abbiano la stessa unità frazionaria e poi eseguire l'addizione come indicato nel punto precedente e cioè sommando i numeratori e lasciando lo stesso denominatore comune.
Es:
Le due frazioni iniziali sono state trasformate in frazioni equivalenti
in modo che abbiano lo stesso denominatore calcolato con m.c.m. dei denominatori 5 e 4
A questo punto possono essere addizionati:
In generale data l'addizione di due frazioni
la somma si può scrivere così:
Quando si sommano due frazioni si può scegliere un qualsiasi denominatore comune, tuttavia per semplificare i calcoli conviene scegliere il più piccolo possibile, cioè il minimo comune multiplo.
Procedura per sommare due o più frazioni:
1. ridurre le frazioni ai minimi termini;
2. calcolare il minimo comune multiplo dei denominatori;
3. mettere il minimo comune multiplo come denominatore della frazione somma;
4. per ogni frazione dividere il m.c.m. per il suo denominatore e moltiplicare il risultato per il numeratore della frazione mantenendo il segno;
5. calcolare la somma algebrica di tutti i numeri trovati;
7. mettere la somma ottenuta come numeratore della frazione somma;
8. ridurre ai minimi termini la frazione ottenuta.
Es:
Passo 1: riduco ai minimi termini le frazioni
Passo 2: calcolo mcm tra i denominatori
m.c.m.(3,6 ,5,1) = 30
Passo 3: nuovo denominatore
la frazione somma avrà come denominatore il m.c.m. 
Passo 4: calcolo frazioni equivalenti
per ogni frazione divido il m.c.m. per il suo denominatore e moltiplico il risultato per il numeratore:
Passo 5: somma algebrica dei numeri ottenuti al numeratore
calcolo +13
Passo 6: scrivo la somma ottenuta al numeratore della frazione somma 
Passo 7: vedo se posso ridurre la frazione, in questo caso no, il risultato è
Sottrazione di frazioni
La sottrazione si svolge come l’addizione invece del segno + si utilizza il segno –
La sottrazione di frazioni si può sempre trasformare in una addizione tra la prima frazione e l'opposto della seconda frazione. Come per i numeri relativi, quando si parlerà di somma di frazioni si intenderà sempre somma algebrica di frazioni.
Moltiplicazione
Il prodotto di due frazioni è una frazione che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori.
Es:
Semplificazione incrociata o in croce
Quando è possibile come in questo caso:
prima di moltiplicare i numeratori (3 ∙ 4) e i denominatori (2 ∙ 5)
conviene eseguire una semplificazione incrociata chiamata così perché
è possibile semplificare il numeratore con il denominatore dell’altra frazione quando hanno un divisore il comune
Il denominatore 2 della prima frazione ha un divisore in comune (2) con 4 numeratore dell’altra frazione e possono essere divisi entrambi con 2 ottenendo 1 al denominatore della prima frazione e 2 al numeratore della seconda frazione.
La moltiplicazione con frazioni può essere resa più semplice operando una semplificazione incrociata tra numeratori e denominatori di un'altra frazione
Es:
Invece di eseguire le moltiplicazioni:
28 ∙ 9 (moltiplicazione numeratori) e 15 ∙ 16 (moltiplicazione denominatori)
Conviene prima semplificare in croce:
28 e 16 possono essere divisi entrambi dal 2 ottenendo rispettivamente 14 e 8 a loro volta ancora divisi dal 2 ottenendo 7 e 4 (28 e 16 possono essere divisi dal 4 (4 = 2 ∙ 2) e ottenere in un solo passaggio 7 e 4
9 e 15 possono essere divisi entrambi dal 3 ottenendo rispettivamente 3 e 5
A questo si moltiplicano numeratori (7 ∙ 3 = 21) e denominatori (5 ∙ 4 = 20)
La moltiplicazione diventa:
Inverso o reciproco di una frazione
L’inverso o il reciproco di una frazione è quella frazione che moltiplicata per la prima da come risultato la prima
Per scrivere la frazione inversa il numeratore diventa denominatore e il denominatore numeratore
Divisione
Il quoziente di due frazioni è la frazione che si ottiene moltiplicando la prima frazione per l’inverso della seconda frazione
Es:
La divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione.
Cosa significa operazione inversa?
Operazione inversa quella operazione che applicata al risultato finale riporta allo stato iniziale
Dato che nell'insieme dei numeri razionali esiste sempre l'inverso di una frazione rispetto alla moltiplicazione, esclusa la frazione zero, si può sempre eseguire la divisione di due qualsiasi frazioni.
Il quoziente di due frazioni è la frazione che si ottiene moltiplicando la prima frazione per l'inverso della seconda frazione.
Es:
