Numeri interi relativi
I numeri che precedono lo zero
Con i numeri naturali non sempre è possibile eseguire l'operazione di sottrazione.
In particolare, non è possibile sottrarre un numero più grande da un numero più piccolo,
per esempio 5 - 12
Tuttavia ci sono situazioni in cui una sottrazione di questo tipo deve essere eseguita.
Esisto anche situazioni in cui vengono utilizzati numeri negativi come ad esempio la misurazione della temperatura che può andare sotto zero e quindi indicata utilizzando il segno meno davanti al numero: temperatura di –1 grado, - 8, ….
In geografia il livello del mare ha valore zero: per esprimere la profondità della Fossa delle Marianne, il punto più profondo della Terra, si utilizza un numero con il segno meno –10916 e per esprimere l'altezza del monte Everest, che si trova a 8855 metri sopra il livello del mare, il numero +8855.
I numeri preceduti dal segno + se sono numeri maggiori di 0 e preceduti dal segno – se sono numeri minori di 0 sono utilizzati per rappresentare grandezze che hanno due sensi, come temperature, crediti e i debiti, latitudine nord e sud, altezze sopra il livello del mare …
L'insieme di questi numeri si indica in questo modo:
ℤ = {…, −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, …}
I numeri relativi permettono di trovare il risultato alle sottrazioni in cui il minuendo (primo termine) è minore del sottraendo (secondo termine)
I numeri relativi e la retta
I numeri relativi possono essere rappresentati su una retta.
Disegniamo una retta, su di essa prendiamo un punto di riferimento al quale associamo il numero zero, il verso di percorrenza da sinistra verso destra, un segmento AB come un'unità di misura.
Numeri positivi sulla retta
Riportiamo questa unità di misura più volte partendo da zero e camminando nel verso stabilito aggiungiamo ogni volta uno: ai punti trovati associamo gli interi positivi.
Numeri negativi sulla retta
Ripetiamo l'operazione partendo dallo zero, ma con il verso di percorrenza a sinistra: ai punti trovati associamo agli interi negativi.
Possiamo interpretare questi numeri come il numero di passi da fare sulla retta, partendo dallo zero verso destra se il segno è positivo, verso sinistra se il segno è negativo.
L'insieme dei numeri relativi si indica con il simbolo ℤ .
In particolare:
l'insieme dei soli numeri interi relativi con segno positivo si indica con il simbolo ℤ+
l’insieme dei soli numeri interi relativi con segno negativo si indica con il simbolo ℤ-
Valore assoluto di un numero relativo
Valore assoluto di un numero relativo è il numero senza il segno.
Il valore assoluto si indica inserendo il numero relativo tra due barre verticali.
∣a∣= a
Es:
∣+2∣ = 2 ∣−5∣ = 5 ∣−73∣= 73 ∣+13∣= 13
Definizioni:
Due numeri relativi si dicono concordi se hanno lo stesso segno
Due numeri relativi si dicono discordi se hanno segno diverso
Es:
+3 e +7 sono concordi +3 e -7 sono discordi
-5 e -2 sono concordi -5 e +2 sono discordi
-9 e -1 sono concordi -6 e +4 sono discordi
Due numeri relativi sono numeri opposti se hanno lo stesso valore assoluto ma segno diverso
Es:
+3 e -3 +7 e -7 +21 e -21
Osservazione
Per indicare un numero positivo è possibile scrivere il numero senza il segno +
Per esempio si può scrivere indifferentemente
+1 o 1 +12 o semplicemente 12
Confronto di numeri relativi
Dati due numeri interi relativi quello più grande è quello che sulla retta è rappresentato più a destra.
Per indicare che un numero è maggiore di un altro si usa separare i due numeri con il simbolo >
per indicare che il primo è minore del secondo si usa mettere tra i due numeri il
In particolare:
ogni numero intero positivo è maggiore di 0;
Es:
+3 maggiore di 0 +3 > 0 ogni numero positivo è maggiore di 0
ogni numero intero positivo è maggiore di ogni numero negativo;
Es:
+3 maggiore di qualsiasi numero negativo
+3 > −2 il numero positivo è maggiore del numero negativo
tra due numeri positivi il più grande è quello che ha valore assoluto maggiore;
Es:
+4 > +2 sono due numeri positivi
il maggiore è +4 perché ha valore assoluto maggiore.
ogni numero negativo è minore di 0 e di ogni numero positivo;
Es:
0 < −2 ogni numero negativo è minore di 0
tra due numeri negativi il più grande è quello che ha valore assoluto minore;
Es:
−1 > −3 i due numeri sono negativi
il maggiore è -1 perché ha valore assoluto minore.
0 è minore di ogni numero positivo e maggiore di ogni numero negativo.
Es:
0 < +5 0 è minore di ogni numero positivo
0 > -5 0 è maggiore di ogni numero negativo